Tohle je jen jedna z možností odvození – uvažujeme podkladové aktivum a derivát, pomocí nichž sestavíme bezrizikové portfolio. Podmínkou je, že můžeme upravovat svou pozici v obou instrumentech v nekonečně malých časových úsecích (dynamický hedging) a podkladové aktivum je obchodovatelné.
Máme podkladové aktivum, jehož cena se řídí geometrickým Brownovým pohybem:
$$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$$
a derivát, jehož hodnota závisí pouze na čase a na podkladovém aktivu:
$$f = f(t,S_t)$$
Sestavíme portfolio:
- $+1$ derivát (long pozice)
- $-\Delta$ podkladové aktivum (short pozice)
$$ \begin{equation} \Pi = f(t,S_t) + \Delta S_t \label{pi} \end{equation}$$
a tedy změna hodnoty portfolia:
$$ \begin{equation} d\Pi = df – \Delta dS_t \label{dpibasic} \end{equation}$$
Podle Itoovy formule si z $f(t,S_t)$ vyjádříme diferenciální rovnici pro změnu hodnoty derivátu:
$$df = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial ^2 f}{\partial S ^2 } \right) dt + \sigma S \frac{\partial f}{\partial S} dW$$
To když dosadíme do $\ref{dpibasic}$, dostaneme:
$$d\Pi = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial ^2 f}{\partial S ^2 } +\Delta \mu S \right) dt + \left( \sigma S \frac{\partial f}{\partial S} + \Delta \sigma S \right) dW$$
Náhodnou složku můžeme zcela zrušit, když bude platit:
$$\begin{equation}\Delta = -\frac{\partial f}{\partial S}\label{delta}\end{equation}$$
Budeme tedy shortovat $\frac{\partial f}{\partial S}$ kusů podkladového aktiva. Takto sestrojíme bezrizikové portfolio, jehož výnos bude plně deterministický:
$$\begin{equation} d\Pi = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} dt \label{dpi}\end{equation}$$
Podle no-arbitrage argumentu musí toto portfolio dávat bezrizikový výnos, tedy:
$$ d\Pi = r P dt$$
Dosadíme do této rovnice $\ref{pi}$, $\ref{delta}$ a $\ref{dpi}$ a máme:
$$\frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} dt = r ( f – \frac{\partial f}{\partial S} S ) dt$$
Podělíme obě strany $dt$ a převedeme všechny výrazy na jednu stranu:
$$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} – r f + r S \frac{\partial f}{\partial S} = 0$$
což je slavná Black-Scholesova rovnice.
Literatura:
– Four Derivations of the Black Scholes PDE, Fabrice Douglas Rouah