Šest hlavních atributů, na které se při klasifikaci zaměřit (Willmot): Time dependence (závislost na čase) Cashflows Path dependence (závislost na průběhu ceny) – silná a slabá Dimensionality (počet rozměrů) Order (řád opce) Embedded decisions (nutná rozhodnutí) Time dependence Nejméně komplikuje výpočet, např. Bermudské opce, které je možné uplatnit jen v konkrétní dny – znamená to […]
Rubrika: Finanční modelování a řízení rizik
Opce představuje finanční derivát, který dává jejímu majiteli právo koupit nebo prodat aktivum za předem stanovených podmínek. Narozdíl od forwardu je to kontrakt nesymetrický. Jedna strana má právo (kupující opce, dlouhá pozice), druhá povinnost na výzvu plnit (vypisovatel opce, krátká pozice). Tržní hodnota opce tedy není na začátku nulová (jako u forwardu). Kupující platí vypisovateli […]
Řecké proměnné vyjadřují citlivost ceny opce na pohyb parametrů, na nichž cena opce závisí. Delta Označuje míru změny ceny opce v závislosti na změně ceny podkladového aktiva. Pro call opce může nabývat hodnoty od 0 do 1, pro put opce nabývá hodnoty od -1 do 1. $$ \Delta = \frac{\partial f}{\partial S}$$ Gamma Označuje citlivost […]
Pro řešení Vašíčkova modelu definujme funkci: $$\begin{equation} G(t,r(t)) = e^{at} r\label{g}\end{equation}$$ Pomocí Itoovy formule: $$ \frac{\partial G}{\partial t} = a e^{at} r, \frac{\partial G}{\partial r} = e^{at}, \frac{\partial^2 G}{\partial r^2} = 0$$ $$ dG = ( a e^{at} r + e^{at} a(b-r) + 0 ) dt + e^{at} \sigma dW_t$$ V první závorce se nám […]
Stochastický model pro popis chování krátkodobé úrokové sazby. Vašíčkův model je velmi jednoduchý, jednofaktorový (má pouze jeden zdroj nejistoty), ale zahrnuje již mean-reversion vlastnost. Dá se použít k ocenění úrokových derivátů. Stochastická diferenciální rovnice Okamžitá úroková míra ve Vašíčkově modelu sleduje v rizikově neutrálním světě stochastickou diferenciální rovnici: $$ dr_t = a( b – r_t […]
FRA je forwardový kontrakt, který již dnes určuje úrokovou sazbu z plnění (úvěru či vkladu), které započne až v budoucnu. FRA je derivát obchodovaný OTC (over-the-counter), jde o instrument peněžního trhu, takže pro všechny výpočty se používá jednoduché úročení. Klíčové parametry FRA: $A$ – Jmenovitá hodnota (Notional amount) $R_M$ – Referenční sazba (Reference rate), obvykle […]
EAD je jedním z parametrů pro výpočet regulatorního kapitálu podle Basel II. EAD je odhad celkové expozice banky vůči protistraně v případě, že protistrana někdy v budoucnosti zdefaultuje. V případě běžných produktů (anuitně splácený úvěr apod.) je EAD rovno nesplacené výši úvěru v době defaultu. U revolvingových produktů (úvěrová linka, kontokorent apod.) lze EAD na […]
LGD (Loss Given Default) je jeden ze základních parametrů Basel II pro stanovení regulatorního kapitálu a výpočet očekávané ztráty (EL, Expected Loss) Udává procentuální ztrátu z celkové expozice banky v případě, že dlužník defaultuje. Jedná se tedy o podmíněnou očekávanou hodnotu: $$LGD = E(Percentage Loss|defaulted=yes)$$ Doplňkem LGD je Recovery rate (RR), která udává, jak velkou […]
Obecnější přístup oproti tomuto pro případ, že podklad není obchodovatelné aktivum (například počasí, úroková míra) a obchodují se pouze jeho deriváty. Podklad sleduje proces (geometrický brownův pohyb): $$ d\omega = m \omega_t dt + s \omega_t dW_t $$ Mějme dva deriváty tohoto podkladu: $f_1(t,\omega)$, $f_2(t,\omega)$. Jejich pohyb je tedy řízen stejným zdrojem nejistoty (důležité!). Podle […]
Itoova formule představuje způsob/pravidlo, jak odvodit diferenciál časově závislého stochastického procesu. Nejznámnější uplatnění najde při odvození Black-Scholesovy parciální diferenciální rovnice. Mějme jednoduchý stochastický proces vyjádřený pomocí diferenciální rovnice: $$dX_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t$$ a funkci $f(t,X_t)$, která je závislá na čase a na tomto procesu a která je dvakrát diferencovatelná podle $X_t$ a […]