Modifikace základního bezpeněžního modelu, peníze hrají aktivní roli v optimalizační úloze. Model tedy porušuje klasickou dichotomii, nicméně stále se dá považovat za neoklasický. Často označovány jako peněžní RBC modely (RBC = real business cycle), protože mají v zásadě stejnou strukturu jako RBC modely, na níž jen superponují peněžní sektor. Model lze spojit hlavně s Lucasem.
Domácnost
Předpokládáme Cobb-Douglasovu užitkovou funkci v logaritmickém tvaru. Užitek stoupá se spotřebou a klesá s množstvím vykonané práce (to je normováno $ l_t \in [0,1]$)
$$ u(c_t,l_t) = \log c_t + B \log (1-l_t)$$
Podmínka hotovostního placení předem (Clowerova podmínka): g značí index růstu peněžní nabídky. Nerovnice znamená, že peníze utracené za zboží nemohou být větší než peníze uspořené z minula zvýšené o nově emitované peníze.
$$ p_t c_t \leq m_{t-1} + ( g_t – 1 ) M_{t-1}$$
Rozpočtové omezení:
$$ c_t + k_{t+1} + \frac{m_t}{p_t} = w_tl_t + r_tk_t + (1-\delta)k_t + \frac{m_{t-1} + (g_t-1)M_{t-1}}{p_t}$$
Pro další řešení je potřeba problém stacionarizovat, tj. definujeme si:
$$ \hat{m}_t = \frac{m_t}{M_t}, \hat{p}_t = \frac{p_t}{M_t}, g_t = \frac{M_t}{M_{t-1}}$$
Pomocí Kuhn-tuckerových podmínek se dá dokázat, že pro výše uvedenou užitkovou funkci je podmínka „cash-in-advance“ rovnicí. Díky tomu se eliminuje poslední člen rozpočtového omezení a máme:
$$ \hat{p}_t c_t = \frac{ \hat{m}_{t-1} + g_t – 1}{g_t}$$
$$ k_{t+1} + \frac{ \hat{m}_t}{\hat{p}_t} = w_tl_t + r_tk_t + (1-\delta)k_t$$
Postup řešení je klasický: sestavíme Lagrangeovu rovnici, derivujeme podle proměnných, které má domácnost pod kontrolou (c, l, k, m) a dostaneme dvě podmínky rovnováhy pro domácnost.
Firma
Pro firmu použijeme dvoufaktorovou Cobb-Douglasovu produkční funkci ve tvaru
$$ Y_t = A_t K_t^\alpha L_t^{1-\alpha}$$
Předpokládáme, že firma maximalizuje okamžitý zisk, tedy derivaci ziskové funkce podle faktorů, o nichž firma rozhoduje (K a L) položíme rovnu nule. Dostaneme dvě podmínky optima firmy (reálná mzda se rovná meznímu produktu práce a reálná úroková míra se rovná meznímu produktu kapitálu)
Tržní rovnováha
$$ Y_t = c_t + k_{t+1} – k_t + \delta k_t$$
$$L_t = l_t$$
$$K_{t+1} = k_{t+1}$$
$$M_t = m_t$$
Rovnice vyjadřují po řadě rovnováhu na komoditním trhu, trhu práce, kapitálu a peněz.
Zdroje: