Základní neoklasický model. Peníze neutrální – nemají vliv na optimalizační úlohu, připojeny až na konci pomocí kvantitativní teorie peněz.
Endogenní proměnné
- C – spotřeba (regulační proměnná)
- N – počet odpracovaných hodin (regulační proměnná)
- B – obligace (stavová proměnná)
- Q – diskontní faktor obligací = 1/(1+i)
- W – mzda
- P – cenová hladina
- Y – produkt
- L – poptávka po práci
- Md – poptávka po penězích
Exogenní proměnné
- T – čisté daně
- A – technický pokrok
- M – nabídka peněz
Parametr $\beta \in (0,1)$ – diskontní faktor užitků.
Rovnováha
Rovnováha dané ekonomiky je řada proměnných C, L, K … taková, že
- domácnost maximalizuje nekonečnou řadu svých diskontovaných užitků
- firma maximalizuje svůj zisk
- všechny dílčí trhy jsou v rovnováze
Domácnost
Celkový užitek – střední hodnota nekonečné řady diskontovaných užitků. Užitková funkce je rostoucí ve spotřebě a klesající v počtu odpracovaných hodin:
$$ E_0 \left[ \sum_{t=0}^\infty \beta^t U(C_t,N_t) \right]$$
Rozpočtové omezení domácnosti:
$$ P_tC_t + Q_tB_t = B_{t-1} + W_tN_t – T_t $$
Peníze utracené a uspořené se musí rovnat úsporám z minulého období zvýšené o příjem z práce a snížené o vliv čistých daní.
Třetí (technická) „transversality condition“ – brání spekulativnímu zadlužování domácností nade všechny meze:
$$ \lim_{t \to \infty} B_t = 0$$
Z užitkové funkce a rozpočtového omezení sestavíme Lagrangián a derivujeme podle proměnných B, C a N (tedy podle těch, které mají domácnosti pod kontrolou, tj. mohou rozhodovat o jejich výši)
Po úpravě získáme dva vztahy: 1) optimalizace práce a spotřeby vs. reálná mzda (W/P) a 2) mezičasová optimalizace Q vs. beta
Podnik
Jednofaktorová produkční funkce
$$ Y_t = A_t L_t^{1-\alpha}$$
Podnik se snaží maximalizovat zisk, tedy
$$ Z_t = P_t Y_t – W_t L_t $$
Ziskovou funkci zderivujeme podle najmuté pracovní síly (jediná veličina, o níž může firma rozhodovat), derivaci položíme rovnu nule a nalezneme podmínku optima firmy.
Technologický pokrok A považujeme za náhodnou veličinu. Jeho logaritmus je dán AR(1) procesem ($\rho_a \in (0,1)$ a $u_a$ je bílý šum)
$$ a_t = \rho_a a_{t-1} + u_a $$
Tržní rovnováha
Tržní rovnováha je dána jednoduchými rovnicemi: $Y_t = C_t$, $ N_t = L_t$. Tím je zaručena rovnováha na trhu zboží a rovnováha na trhu práce.
Rovnice rovnováhy na peněžním trhu je dána $M_t = M_t^d$.
Peníze v modelu
Peníze jsou čistě exogenní, východiskem je kvantitativní teorie peněz:
$$ M_d V = P Y$$
Oproti Fisherově pojetí však V není konstantní, ale závisí na úrokové míře i:
$$ V_t = V_0 ( 1 + i ) ^{\eta_1}$$
Z toho po dosazení a úpravě
$$ m_t^d – p_t = y_t – \eta_0 – \eta_1 i_t $$
Výsledky modelu
Reálná úroková míra a reálná mzda
Reálná úroková míra se vyjádří z Eulerovy rovnice a závisí pouze na náhodné veličině $a_t$, tedy technologickém pokroku – zbytek ve výrazu jsou konstanty. Stejně tak reálná mzda je lineární kombinací $a_t$. Dynamika všech reálných veličin v tomto modelu je tedy řízena změnami technologického pokroku, které jsou považovány za exogenní veličinu.
Dynamika cen
Aktuální cenovou hladinu ovlivňují očekávané změny v peněžní zásobě (od teď až do nekonečná) a očekávané reálné úrokové míry a reálná produkce v budoucnosti.
Stacionární stav
Je takový stav, kdy nedochází ke změnám veličin v čase – v zásadě stačí přepsat klíčové rovnice v modelu bez indexu t. Jelikož máme celkem 9 endogenních proměnných, tak potřebujeme 9 rovnic stacionárního stavu.
- rozpočtové omezení domácnosti
- dvě podmínky optima domácnosti (výsledek derivace Lagrangeovy funkce)
- poptávka po penězích z Fisherovy rovnice
- produkční funkce
- optimum firmy
- rovnováha na trhu práce, zboží a peněz