FRA je forwardový kontrakt, který již dnes určuje úrokovou sazbu z plnění (úvěru či vkladu), které započne až v budoucnu.
FRA je derivát obchodovaný OTC (over-the-counter), jde o instrument peněžního trhu, takže pro všechny výpočty se používá jednoduché úročení.
Klíčové parametry FRA:
- $A$ – Jmenovitá hodnota (Notional amount)
- $R_M$ – Referenční sazba (Reference rate), obvykle nějaký LIBOR, PRIBOR
- $R_F$ – Fixní sazba (Fixed rate)
- $T_1$ – Effective date – začátek plnění ode dneška, v měsících
- $T_2$ – Termination date – konec plnění ode dneška v měsících
- $d$ – počet dní mezi $T_1$ a $T_2$
Začátek a konec FRA se označuje $T_1\times T_2$.
Kontrakt vyplácí pouze úrokový rozdíl (dle fixní a referenční sazby). Jmenovitá hodnota je virtuální – slouží jen pro účely výpočtu této platby. Nedochází tedy k žádnému skutečnému vkladu ani půjčce.
Kontrakt se vypořádává už v čase $T_1$, protože už v tomto momentě je známa potřebná referenční sazba.
Protistrany:
- Kupující FRA = příjemce fixní sazby (Fixed Rate Reciever), tj. $+R_F – R_M$
- Prodávající FRA = plátce fixní sazby (Fixed Rate Payer), tj. $-R_F + R_M$
Z pozice příjemce je kontrakt ekvivalentní vložení částky $A$ v čase $T_1$ na termínový vklad s úrokovou sazbou $R_F$ s jeho výplatou v čase $T_2$.
Výpočet výše plnění: (z pozice příjemce fixní sazby)
$$ Payoff = \frac{(R_F – R_M) \frac{d}{360}}{1+R_M \frac{d}{360}}$$
Pokud je $R_F > R_M$, tj. skutečná sazba je nižší než předem domluvená, dostane peníze příjemce fixní sazby.
Pokud je $R_F < R_M$, tj. skutečná sazba je vyšší než předem domluvená, bude naopak peníze platit.
Motivy vstupu do FRA:
- Zajištění: vím, že za X měsíců si budu brát úvěr a do finančního plánu potřebuji už dnes znát úrokové náklady => koupím FRA
- Spekulace: myslím, že úrokové sazby půjdou nahoru a chci na tom vydělat => prodám FRA
- Arbitráž
Tržní hodnota FRA:
Fixní sazba je na začátku stanovena tak, aby tržní hodnota kontraktu byla nulová. FRA je symetrický kontrakt, žádná strana nemá výhodu, takže 0 je na počátku férová hodnota.
V praxi to nebude vždy přesně dodrženo kvůli spreadu.
V retailovém vztahu (banka vs. malá firma) navíc banka bude nejspíš požadovat složení nějaké zálohy jako jištění kontraktu (krytí rizika protistrany).
Jak se v průběhu času mění úrokové sazby, bude se měnit i tržní hodnota FRA. Z pohledu příjemce fixní sazby:
$$ f(t) = e^{-r(T_2-t) \times (T_2-t)}A(1+R_F \frac{d}{360}) – e^{-r(T_1-t) \times (T_1-t)}A$$
Tedy diskontujeme odchozí platbu (vklad na termínový účet) v čase $T_1$ a příchozí platbu (výplata vkladu) v čase $T_2$. Úrokové míry $r(T_2-t)$ a $r(T_1-t)$ získáme z aktuální výnosové křivky.
Odvození FRA sazby
Fixní sazba $R_F$ je dána aktuální výnosovou křivkou tak, aby nebylo možné provádět arbitráž. Výše fixní sazby je tedy zároveň taková, která nastavuje tržní hodnotu FRA v okamžiku sjednání kontraktu do blízkosti 0.
V konvenci peněžního trhu (jednoduché úročení) musí být forwardová sazba $R_F$ vkladu, který začíná za $d_1$ dnů a trvá $d_2 – d_1$ dnů:
$$ R_F = \frac{1}{d_2 – d_1} \frac{R_2 d_2 – R_1 d_1}{1 + R_1 \frac{d_1}{360}}$$
kde $R_1$ a $R_2$ jsou aktuální úrokové sazby pro vklady s délkou $d_1$, resp. $d_2$ dnů.
Princip odvození FRA sazby
Vychází z nemožnosti arbitráže. Mám peníze a chci je do času $T_2$ nechat zúročit. Buď je mohu uložit na celou dobu za sazbu $R_2$. Nebo je mohu uložit na kratší čas $T_1$ za sazbu $R_1$ a na zbytek období si už dnes domluvit forwardovou sazbu $R_F$.
Je logické, že v obou případech musím mít na konci stejně peněz, jinak by tržní účastníci preferovali buď jednu nebo druhou variantu a tímto tlakem nakonec ceny srovnali.
Když budu (pro jednoduchost) ignorovat počty dní, tak principiálně je výše uvedený postup vyjádřen:
$$ (1+R_2) = (1 + R_1)(1+R_F)$$
$$ 1 + R_2 = 1 + R_F + R_1 + R_1 R_F $$
$$ 1+R_2 = R_F ( 1+R_1 ) + 1 – R_1$$
$$ R_F = \frac{R_2 – R_1}{1+R_1}$$
Literatura:
– Wiki
– Financial Derivatives and Market Risk Management, Witzany J.