Ukážeme si jak odvodit duration/convexity approach pomocí Taylorova rozvoje. Taylorův rozvoj funkce v okolí bodu $x_0$ vypadá jako nekonečná suma:
$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + \frac{1}{2} f“(x_0) (x – x_0)^2 + \dots $$
Taylorova věta pak říká, že jsou-li splněny nějaké technické podmínky, tak každá funkce může být vyjádřena jako výše uvedený Taylorův rozvoj – každý člen má vyšší řád než předchozí, to znamená, že s každým členem bude tento rozvoj aproximovat původní funkci se stále menší chybou (já jsem napsal jen první dva členy, ale teoreticky by jich mohlo být více.
Jelikož existuje jednoznačný vztah mezi cenou dluhopisu a výnosem, můžeme cenu dluhopisu považovat za funkci výnosu $P(y)$. Pomocí Taylorova rozvoje zkusíme zapsat aproximaci této funkce při malé změně výnosu $\Delta y$
$$ P(y+\Delta y) = P(y) + P'(y) \Delta y + \frac{1}{2} P“(y) (\Delta y)^2 + O(\Delta y^3) $$
První člen vpravo přesuneme na levou stranu a zanedbáme zbytek (když $\Delta y$ bude malé číslo, tak jeho třetí mocnina bude hodně hodně hodně malé číslo):
$$ \Delta P(y) \approx P'(y) \Delta y + \frac{1}{2} P“(y) (\Delta y)^2 $$