Závislost cena/výnos včetně grafu je popsána i v předchozí otázce.
Durace
Slovo Durace má dva významy a dvě definice, což často způsobuje různá nedorozumění a omyly. Je proto dobré vědět o obou.
- Durace je vážený průměr splatností jednotlivých plateb dluhopisu v letech. Vahou každé splatnosti je přitom podíl diskontované současného hodnoty dané platby na celkové současné hodnotě dluhopisu.
- Durace je citlivost ceny dluhopisu na výnos. Udává přibližnou procentuálního změnu ceny dluhopisu v reakci na změnu výnosu do splatnosti o 100 bps.
Pro tento výklad budu používat spojité úročení. Cena dluhopisu P v závislosti na výnosu do splatnosti y je dána
$$ \begin{equation} \label{price} P = \sum_{i=1}^n c_i e^{-y t_i} \end{equation}$$
kde c jsou jednotlivé peněžní toky (v absolutní výši) a t jsou časy jejich splatností počítané ode dneška v letech. V souladu s definicí #1 je durace
$$ \begin{equation} \label{duration} D = \frac{ \sum_{i=1}^n t_i c_i e^{-y t_i}}{P} = \sum_{i=1}^n t_i \left[ \frac{c_i e^{-y t_i}}{P} \right] \end{equation} $$
Výraz v závorce představuje váhu přiřazenou jednotlivým dobám do splatnosti – vidíme, že součet členů v hranaté závorce bude vždy 1. Pomocí Taylorova rozvoje (odvození zde) můžeme psát:
$$ \Delta P = \frac{\partial P}{\partial y} \Delta y $$
Derivujeme-li $\eqref{price}$ a dosadíme do tohoto vzorce, máme
$$ \Delta P = – \Delta y \sum_{i=1}^n c_i t_i e^{-y t_i} $$
Výraz v sumě je podle $\eqref{duration}$ roven $D P$, takže rovnici můžeme přepsat
$$ \Delta P = – P D \Delta y $$
nebo
$$ \frac{\Delta P}{P} = -D \Delta y $$
Tedy procentuální změna ceny dluhopisu jako závislost na změně výnosu do splatnosti dluhopisu (a tedy zjevně platí i tvrzení #2). Povšimneme si záporného znaménka, čili růst výnosu (= úrokové míry) znamená pokles ceny a naopak.
Durace v tomto vyjádření se označuje jako Maculayova durace (1938).
Modifikovaná durace
Odvození výše je postavené na předpokladu spojitého úročení. Pokud bude výnos úročen s frekvencí $k$ krát ročně, pak je modifikovaná durace
$$ D_{mod} = \frac{D}{1+y/k} $$
Očekávaná změna ceny je potom
$$ \Delta P = – P D_{mod} \Delta y $$
Dolarová durace
Když modifikovanou duraci a cenu z minulého vzorce vynásobím spolu, udělám z ní dolarovou duraci.
$$ D_$ = P D_{mod} $$
$$ \Delta P = D_$ \Delta y $$
Basis point value (BPV, DV01)
Hodnota jednoho bazického bodu. DV01 znamená „Dollar value of 01“. Představuje absolutní změnu hodnoty v případě, že se výnos bondu změní o jeden bazický bod (0,01 %). Jedná se vlastně o zvláštní případ dolarové durace, kde je přesně stanovena velikost kroku.
Konvexita
Definujme si konvexitu jako
$$ C = \frac{P“(y)}{P} = \frac{1}{P} \frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = \frac{ \sum_{i=1}^n c_i t_i^2 e^{-y t_i}}{P} $$
Opět pomocí Taylorova rozvoje z tohoto odvození pak můžeme psát
$$ \frac{\Delta P}{P} = – D \Delta y + \frac{1}{2} C (\Delta y)^2 $$
Odhad změny výnosu pomocí durace i konvexity bude přesnější než odhad změny výnosu jen pomocí durace. Rozdíl je patrný zejména při velkých změnách výnosové křivky. Pokud postavíme portofolio dluhopisu, jehož celková durace i konvexita budou blízko nuly, budeme chráněni proti relativně velkým paralelním posunům výnosové křivky. Stále však budeme vystaveni riziku změn neparalelních.
Závislost durace na ekonomických a dluhopisových parametrech
- durace bezkupónového bondu je rovna době do splatnosti
- durace věčného dluhopisu je rovna (1 + y)/y
- durace je dána vztahem $\eqref{duration}$ z toho vyplývá i jaké faktory se na její výši podílejí – duraci nejvíce mění ubíhající čas a výplata kupónu. Na změnu výnosnosti naopak durace moc nereaguje, protože změna y mění výši čitatele a jmenovatele stejným směrem a výsledná změna tak bude velmi malá. Citlivější na změny výnosu je durace v případě velmi nízkých výnosností.