Kaldor (model 1940):
- postkeynesiánský ekonom, věří ve vnitřní nestabilitu ekonomiky
- význam regulace v bankovnictví, kde CB může ekonomiku ovlivňovat spíše přes stabilitu finančního sektoru a diskontní sazbu + nepřímé nástroje
- jeho model ekonomického cyklu je postaven na nelineární dynamice; produkuje endogenní cyklus
- první model, který dokázal takto vygenerovat endogenní cyklus
- jednoduchý model: soustava 2 rovnic o 2 neznámých – produkt (y) a kapitál (k)
Diferenciální rovnice
Změna produktu v čase je dána rozdílem investiční a úsporné funkce
$$ dy/dt = f(y,k) = \alpha \left( I(y,k) – S(y,k) \right) $$
Malé hodnoty parametru $\alpha$ značí pomalou reakci firem na nerovnováhu, což může být způsobeno buď jejich vysokou averzí k riziku nebo monopolizací trhu. Platí $\alpha > 0$.
Změna kapitálu v čase je dána rozdílem investic a konstantní depreciace kapitálu
$$ dk/dt = g(y,k) = I(y,k) – \delta k $$
Kaldor argumentuje, že I() a S() nemohou být obě lineární (a že je vlastně docela dost dobře možné, že obě jsou nelineární). Pro vznik endogenního cyklu však stačí, když je nelineární jen jedna z nich. Obvykle se ve zjednodušené formě předpokládá, že nelineární je funkce investiční a že má tvar logistické funkce.
$$ z(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$$
Pro jistou kombinaci parametrů vznikne v modelu tzv. limitní cyklus – neexistuje jeden rovnovážný bod, ale model neustále osciluje. Amplitudy cyklu rostou s rostoucím parametrem $\alpha$. Příčinu vzniku tohoto cyklu možno shlédnout na tomto obrázku (Kaldor, 1940):
Na tomto obrázku je poněkdu nezvykle na ose x „aktivita“ (odpovídá úrovni produktu Y) a na ose y je výše úspor, respektive investic. Existují dvě stabilní rovnováhy vlevo a vpravo a jedna nestabilní rovnováha uprostřed. Předpokládá se, že normální úroveň výstupu je někde kolem prostředního bodu.
Stage 1: Úroveň aktivity je vysoká, úroveň investic také a v důsledku toho roste spotřeba i úspory – úsporová křivka se posouvá nahoru. Investiční křivka oproti tomu klesá (akumulace kapitálu v kombinaci s omezenými investičními možnostmi způsobí, že při stejné úrovni aktivity budou investice nižší a nižší). Výsledkem je posun bodu B vlevo a posun bodu C vpravo (Stage 2)
Stage 3: dosažení kritického bodu, kdy dojde ke zrušení horních bodů rovnováhy. Situace je nestabilní (S > I) a produkt prudce klesá do rovnováhy A.
Stage 4: je-li aktivita nízká, budou se křivky I a S pohybovat protichůdně. Protože výstup je pod normálem, čisté investice budou záporné (investice nestačí pokrývat depreciaci) – roste tedy množství investičních příležitostí a křivka I se bude postupně posouvat směrem nahoru. Ze stejného důvodu křivka S půjde dolů. Tyto protichůdné pohyby vedou k tomu, že bod A se pohybuje doprava, zatímco C se k němu přibližuje.
To nakonec vede opět k odtržení křivek I a S (tentokráte na levé straně), dojde k nerovnováze I >S a produkt prudce stoupne do bodu B (Stage 6). Tímto jsme se dostali na konec jednoho cyklu.
Nutné a postačující podmínky (podle Kaldora)
- Normální hodnoty $\frac{dI}{dY}$ musí být větší než odpovídající $\frac{dS}{dY}$ – tj. sklon křivky investic musí být kolem „normálního stavu“ větší než sklon křivky úspor
- Extrémní hodnoty $\frac{dI}{dY}$ na obou stranách musejí být menší než odpovídající $\frac{dS}{dY}$. To znamená, že investiční křivka napravo a nalevo od normálu musí být plošší než křivka úspor.
Pro některé hodnoty parametrů dochází k tzv. bifurkaci (Hopf bifurcation) a model vykazuje chaotickou dynamiku (jestli tomu správně rozumím, tak je to právě ten případ vzniku 3 rovnovážných bodů)
Zdroje:
- A Model of the Trade Cycle, Nicholas Kaldor, The Economic Journal, Vol. 50, No. 197 (Mar., 1940), pp. 78-92 (placený přístup, zdarma přes Proxy VŠE)
- Local stability and Bifurcations in Kaldor model, Binter, Vácha
- Kaldor’s trade cycle