Struktura běžných úrokových sazeb
Zde se pod pojmem běžná úroková sazba myslí roční procentuální sazba (p.a.) s ročním připisováním úroků, domluvená na x let. Pokud odmyslíme rozdíl ve frekvenci úročení, tak se jedná v podstatě o výnosovou křivku.
Odvození výnosové křivky ze zero bondů
Předpoklady: máme velké množství bezrizikových zero-bondů s různými splatnosti. Z nich můžeme určit „běžné úrokové sazby“ jako výnosnosti, které vyrovnávají následující vzorce:
$$ P_1 = \frac{JH}{1+i_1} $$
$$ P_2 = \frac{JH}{(1 + i_2)^2}$$
atd… kde $P_1$,$P_2$ jsou kótované ceny zerobondů se splatností za 1 a 2 roky a $i_1$, $i_2$ jsou po řadě jednoletá a dvouletá běžná úroková sazba.
Bootstrapping
Zero-bondy se moc nevydávají, a pokud tak spíš s krátkými splatnostmi. Časová struktura výnosových měr se dá také odvodit z kupónových bezrizikových dluhopisů metodou bootstrappingu – začneme vždy od nejkratší splatnosti a postupujeme ke splatnostem delším. V ideálním případě bychom měli mít pro každý rok splatnosti jeden dluhopis (to určitě v praxi nebude, takže jen modelově pro tento příklad)
U každého dluhopisu známe jmenovitou hodnotu JH, kupón c a tržní cenu P. Z jednoletého dluhopisu spočteme jednoletou běžnou úrokovou sazbu takovou, že nám bude řešit tuto rovnici:
$$ P_1 = \frac{c + JH}{1+i_1}$$
Když známe jednoletou sazbu, vezmeme dvouletý kupónový dluhopis a spočteme dvouletou sazbu:
$$ P_2 = \frac{c}{1+i_1} + \frac{c + JH}{(1+i_2)^2}$$
a tak to dále pokračuje. Finanční inženýři by to spíš řešili ve spojitém úročení, ale jinak je princip stejný.
Obecný vzorec pro bootstrapping, pokud to někomu pomůže (já to vždy odvozuji logicky dle postupu výše) by vypadal takto (výpočet je pro n-letou úrokovou sazbu, když předchozí známe):
$$ i_n = \sqrt[n]{\frac{c+JH}{P- \sum_{j=1}^{n-1} \frac{c}{(1+i_j)^n}}}-1 $$
IRS
Běžné úrokové sazby je možné získat také z úrokových swapů. Ty v sobě zahrnují významně nižší kreditní riziko a dají se proto ztotožnit s bezrizikovými instrumenty. Známe-li n-letou swapovou sazbu $k$, znamená to, že víme, že kupónový dluhopis na n let s kupónovou sazbou $k$ se bude prodávat za par (tj. 100 % jmenovité hodnoty).
Jednoroční úrokovou sazbu tedy spočteme podle vzorce (k1 odpozorujeme na trhu, i1 dopočteme):
$$ 100 = \frac{100+k_1}{1+i_1} $$
Pokračujeme opět k dvouleté úrokové sazbě. Zde musí platit:
$$ 100 = \frac{k_2}{1+i_1} + \frac{100+k_2}{(1+i_2)^2}$$
Dvouletou swapovou sazbu opět vidíme na trhu, i1 jsme spočetli v minulém vzorci, jediná neznámá je tedy i2 a tu dopočteme. Stejným způsobem můžeme pokračovat dál.
Ocenění dluhopisu
Máme-li běžné úrokové sazby, lze další bezrizikový kupónový dluhopis ocenit podle obecného vzorce
$$ P = \frac{c}{1+i_1} + \frac{c}{(1+i_2)^2} + \dots + \frac{c+JH}{(1+i_n)^n}$$
Všimněme si, že všude píši bezrizikový dluhopis! Rizikové dluhopisy v sobě zahrnují ještě riziko defaultu emitenta, jejich cena je tedy proti bezrizikovým bondům snížena o rizikovou srážku (výnos obsahuje rizikovou prémii – je vyšší než bezrizikový). Výpočet této rizikové prémie rozhodně není trivální. Máme-li rating emitenta, je možné ji odhadnout pomocí aktuální rizikové prémie bondů stejného ratingu. Další možností může být Mertonův strukturální model (komerční aplikace např. ve známém KMV modelu)
Další varianty
Ve skriptech (Stádník) jsou uvedeny i binomické stromy s poměrně odvážným příkladem, kdy si člověk arbitrárně zvolí pravděpodobnosti pohybu nahoru a dolů v každém kroku a na základě toho dluhopis ocení. Jsem si téměř jistý, že to vůbec není dobrý příklad, jak to dělat.
Jinak binomické stromy se používají v případě, že chceme ocenit například bond s vnořenou opcí (callable bond, putable bond) – je ale potřeba strom nakalibrovat na reálná data a velikost vzestupů/poklesů v každém kroku určit podle volatility úrokových sazeb. Podrobný postup viz Fabozzi, kapitola 37.