Zkoumání nelineárních modelů (zvlášť třeba ve statistice/ekonometrii na empirických datech) nám pořád obecně moc nejde. Mohdy neexistuje ani analytické řešení.
Proto snaha o linearizaci modelu, třeba i za cenu zanedbání některých členů vyšších řádů. U makroekonomických modelů jedním z nejdůležitějších postupů je logaritmická linearizace. Využívá toho, že logaritmus součinu je součet logaritmů a některých aproximačních vzorců.
Cobb-Douglasova dvoufaktorová produkční funkce
$$ Y_t = A_t K_t^\alpha L_t^{1-\alpha}$$
u níž by se poměrně blbě odhadovaly parametry a ještě hůře se s ní pracovalo při odvozování modelu, se dá poměrně lehce linearizovat (bez ztráty přesnosti) takto … malá písmena znamenají logaritmus veličiny, tj. $ y_t = \ln Y_t$:
$$ y_t = a_t + \alpha k_t + (1-\alpha) l_t $$
Často využívá aproximační vzorce (platí, když $x$ je malé, což je v pokročilých ekonomikách obvykle splněno)
$$ \ln( 1 + x ) \approx x $$
$$ e^x \approx 1 + x $$
Rozklad na fluktuace kolem stálého stavu (písmena s vlnovkou značí fluktuaci, s časovým indexem aktuální stav a bez časového indexu stálý stav)
$$ \tilde{x}_t = \log x_t – \log x$$
$$ \tilde{x}_t = \log \frac{x_t}{x} = log \left( 1 + \frac{x_t – x}{x} \right) \approx \frac{x_t – x}{x} = \tilde{x}_t $$
$$ x_t = x \exp\{ \ln \frac{x_t}{x} \} = x \exp \{ \tilde{x}_t \} $$
Násobek dvou fluktuací je přibližně nulový (výsledné členy mají vyšší řád a vyšší řád malých čísel jsou hodně malá čísla):
$$ \tilde{x}_t \tilde{y}_t \approx 0 $$