V základní verzi uzavřená ekonomika. Nová keynesovská ekonomie je v současné době u centrálních bank asi převládajícím světonázorem. Hlavní dva definiční znaky: předpokládá racionálně chovající se subjekty a nedokonalou konkurenci (což vytváří rigiditu nominálních cen a mezd)
Domácnost
Předpokládáme existenci nekonečného množství zboží a firem – tzv. kontinuum indexované $i \in [0,1]$. Pokud $C_t(i)$ označíme spotřebu i-tého zboží v čase t, pak souhrnný spotřební index bude definován jako suma (=integrál)
$$ C_t = \left( \int_0^1 C_t(i)^{1-\frac{1}{\epsilon}} di \right) ^{\frac{\epsilon}{\epsilon-1}} $$
Domácnost maximalizuje sumu diskontovaných užitků, přičemž užitková funkce je stoupající ve spotřebě C a klesající v odpracovaných hodinách N
$$ \sum_{t=1}^\infty \beta^t U(C_t,N_t)$$
při rozpočtovém omezení
$$ P_tC_t + Q_t B_t \leq B_{t-1} + W_t N_t + Z_t $$
Index spotřeby Ct chceme maximalizovat při jakékoli dané úrovni výdajů
$$\int_0^1 P_t(i)C_t(i) di = P_t C_t $$
Řešením tohoto problému je množina poptávkových funkcí
$$ C_t(i) = \left( \frac{P_t(i)}{P_t} \right)^{-\epsilon} C_t $$
pro všechna $i \in [0,1]$, kde agregátní cenový index Pt je definován jako
$$ P_t = \left[ \int_0^1 P_t(i)^{1-\epsilon} di \right] ^ {\frac{1}{1-\epsilon}} $$
Firmy – Calvův cenový mechanismus
Předpokládáme kontinuum firem indexovaných $i \in [0,1]$. Každá firma produkuje diferencovaný produkt pomocí dané úrovně technologie $A_t$ (ta je společná všem firmám a vyvíjí se exogenně)
$$ Y_t(i) = A_t N_t(i) ^ {1-\alpha}$$
Calvo (1983) předpokládá, že firmy upravují své ceny s pravděpodobností $(1-\theta)$ – tj. každé období $(1-\theta)$ firem upraví svou cenu a $\theta$ firem ji ponechá nezměněnou. Je to tedy způsob, jak do modelu vložit nominální rigidity – ceny se nepřizpůsobují okamžitě, ale z různých důvodů jim to nějakou dobu trvá (např. náklady jídelníčku, dlouhodobé kontrakty apod.)
Průměrná délka trvání jedné ceny tedy bude $(1-\theta)^{-1}$. Index $\theta$ je tedy vlastně parametr udávající velikost cenové rigidity (0 = okamžité přizpůsobení, čím blíže jedinčce, tím déle to trvá)
Všechny firmy, které upravují své ceny, si zvolí stejnou novou cenu označenou $P_t^*$. Agregátní cenová hladina tedy bude mít tvar
$$ P_t = \left[ \theta P_t^{1-\epsilon} + (1-\theta) (P_t^*)^{1-\epsilon} \right] ^{\frac{1}{1-\epsilon}}$$
Inflační index
$$ \Pi_t^{1-\epsilon} = \theta + (1-\theta) \left[ \frac{P_t^*}{P_{t-1}} \right]^{1-\epsilon} $$
Pokud budeme předpokládat vyspělou ekonomiku, kde se inflační index nebude mnoho lišit od jedné, můžeme provést logaritmickou linearizaci:
$$ \begin{equation} \pi_t = (1-\theta)(p_t^* – p_{t-1}) \label{inflation} \end{equation}$$
Jak ale firmy určí novou cenu $P_t^*$ ? Odvodit to matematicky není sranda (viz Kodera nebo zde, slide #17-#20). Obecně: firmy volí novou cenu tak, aby maximalizovaly současnou hodnotu diskontovaných toků vzhledem k poptávkovému omezení – firmy se tedy dívají do budoucna. Po sérii úprav dostaneme logaritmicky linearizovaný výraz pro výši nové ceny:
$$ \begin{equation}\label{ptstar} p_t^* = \mu + (1 – \beta \theta ) \sum_{k=0}^\infty (\beta \theta)^k E_t( mc_{t+k|t} + p_{t+k} ) \end{equation}$$
kde logaritmus reálných mezních nákladů ve stacionárním stavu $\ln MC = -\mu$ a $mc_{t+k|t}$ je logaritmus mezních nákladů firem, které měnily svou cenu naposled v čase t.
Rovnice inflace
Rovnici $\eqref{ptstar}$ můžeme přepsat takto:
$$ p_t^* – p_{t-1} = \mu + (1 – \beta \theta ) \sum_{k=0}^\infty (\beta \theta)^k E_t( mc_{t+k|t} + ( p_{t+k} – p_{t-1}) $$
$$ p_t^* – p_{t-1} =(1 – \beta \theta ) \sum_{k=0}^\infty (\beta \theta)^k E_t( \widehat{mc}_{t+k} ) + \sum_{k=0}^\infty (\beta \theta)^k E_t(\pi_{t+k}) $$
kde $\widehat{mc}_{t} = mc_t – mc$ a $mc = -\mu$. To se dá kompaktněji přepsat jako
$$ p_t^* – p_{t-1} = \beta \theta E_t( p_{t+1}^* – p_t ) + ( 1 – \beta \theta ) \widehat{mc}_t + \pi_t $$
To když se zkombinuje s $\eqref{inflation}$, tak máme
$$ \begin{equation} \pi_t = \beta E_t(\pi_{t+1}) + \lambda \widehat{mc}_t \label{prephillips}\end{equation}$$
kde $ \lambda = \frac{(1-\theta)(1-\beta\theta)}{\theta}$.
Tržní rovnováha
Předpokládejme, že užitková funkce je ve tvaru (proč zrovna tento tvar? Má dobré vlastnosti, patří mezi tzv. CES funkce – constant elasticity of substitution)
$$ U(C_t,N_t) = \frac{C_t^{1-\sigma}}{1-\sigma} – \frac{N_t^{1+\phi}}{1+\phi}$$
Rovnice rovnováhy domácnosti jsou pak dány (v logaritmickém tvaru):
$$ \sigma c_t + \phi n_t = w_t – p_t $$
$$ c_t = E_t c_{t+1} – \frac{1}{\sigma}( i_t – E_t \pi_{t+1} – \rho ) $$
Druhou z těchto rovnic nazveme Eulerovou rovnicí. Rovnice rovnováhy na komoditním trhu je dána $ y_t = c_t $.
Phillipsova křivka
Tohle použijeme pro vyjádření mezních nákladů firmy jako rozdílu mezi reálnou mzdou a mezním produktem práce (ten bychom získali z produkční rovnice firmy, ale je to komplikované):
$$ mc_t = ( w_t – p_t ) – mpp_t = ( \sigma y_t + \phi n_t ) – ( y_t – n_t ) – \ln ( 1 – \alpha )$$
$$ mc_t = \left( \sigma + \frac{\phi + \alpha}{1-\alpha} \right) y_t – \frac{1+\phi}{1-\alpha} a_t – \ln ( 1 – \alpha ) $$
Kdyby byly ceny dokonale pružné, tak by byl výstup stále na úrovni $$y_t^n$$, tedy na přirozené úrovni výroby. Za takové situace by platilo
$$ mc_t = \left( \sigma + \frac{\phi + \alpha}{1-\alpha} \right) y_t^n – \frac{1+\phi}{1-\alpha} a_t – \ln ( 1 – \alpha )$$
Tyhle dvě rovnice, když dáme dohromady, tak máme
$$ \widehat{mc}_t = mc_t – mc = \left( \sigma + \frac{\phi + \alpha}{1-\alpha} \right) ( y_t – y_t^n )$$
Tohle když vložíme do $\eqref{prephillips}$, tak dostaneme novokeynesiánskou phillipsovu křivku:
$$ \begin{equation}\label{phillips}\pi_t = \beta E_t(\pi_{t+1}) + \kappa (\tilde{y}_t)\end{equation} $$
kde $\kappa$ je konstanta (kombinace jiných parametrů). Tato rovnice říká, že inflace je dána jednak očekávanou výší inflace a jednak rozdílem mezi skutečnou a přirozenou úrovní výroby $\tilde{y}_t = y_t – y_t^n$ (výstupní mezera, output gap). Pokud bude výstupní mezera kladná (skutečný produkt nad přirozenou úrovní), povede to k vyššímu tlaku na inflaci, a naopak.
Rovnice slouží jako teoretický základ pro cílování inflace. Centrální banka vyhlásí inflační cíl (tím ovlivní očekávání subjektů, tj. první člen rovnice). Následně se pomocí manipulace s krátkodobou úrokovou sazbou snaží minimalizovat výstupní mezeru.
Dynamická IS křivka
Vyjdu z Eulerovy rovnice (při rovnováze na komoditním trhu $y_t = c_t$)
$$ y_t = E_t y_{t+1} – \frac{1}{\sigma} ( i_t – E_t \pi_{t+1} – \rho ) $$
kterou přepíšu i pro přirozenou úroveň výroby
$$ y_t^n = E_t y_{t+1}^n – \frac{1}{\sigma} ( i_t^n – E_t \pi_{t+1}^n – \rho ) $$
Rovnice od sebe mohu odečíst a mám
$$ y_t – y_t^n = \tilde{y}_t = E_t \tilde{y}_{t+1} – \frac{1}{\sigma} \left[ i_t – E_t \pi_{t+1} – ( i_t^n – E_t \pi_{t+1}^n ) \right] $$
Definuji reálnou úrokovou míru
$$! r_t = i_t – E_t \pi_{t+1} $$
$$ r_t^n = i_t^n – E_t \pi_{t+1}^n $$
a mám
$$ \tilde{y}_t = E_t \tilde{y}_{t+1} – \frac{1}{\sigma} ( r_t – r_t^n ) $$
$$ \begin{equation} \label{is} \tilde{y}_t = E_t \tilde{y}_{t+1} – \frac{1}{\sigma} ( i_t – E_t \pi_{t+1} – r_t^n ) \end{equation}$$
Shrnutí modelu
Rovnice $\eqref{phillips}$ a $\eqref{is}$ jsou základem modelu nové keynesovské ekonomie – tvoří soustavu dvou rovnic o 2 endogenních proměnných (inflace a produkční mezery). Reálná úroková míra je dána exogenně (dá se ukázat, že závisí na technologickém pokroku, o němž předpokládáme, že je stochasický a nemůžeme ho ovlivnit)
Stačí tedy určit výši nominální úrokové míry (o té předpokládáme, že ji má CB plně pod kontrolou) a máme hotovo.
Měnová politika v modelu
Předpokládáme, že existuje nějaké pevné pravidlo, které řídí chování centrální banky (reagenční rovnice, nějaká obdoba Taylorova pravidla). Reagenční rovnice centrální banky může být dána takto:
$$ i_t = \rho + a \pi_t + b \tilde{y}_t + u_t $$
Parametry $a,b$ jsou určeny chování CB. Člen $u_t$ nám do modelu vnáší stochastické šoky, předpokládáme, že sleduje AR proces (epsilon znázorňuje vnější měnový šok)
$$ u_t = c u_{t-1} + \epsilon_t $$
Máme 2 diferenční rovnice, které se řeší – výsledkem je vlastně VAR model, který popisuje, jak se jednorázový exogenní šok distribuuje časem mezi inflací a produkční mezerou.