Stochastický model pro popis chování krátkodobé úrokové sazby. Vašíčkův model je velmi jednoduchý, jednofaktorový (má pouze jeden zdroj nejistoty), ale zahrnuje již mean-reversion vlastnost.
Dá se použít k ocenění úrokových derivátů.
Stochastická diferenciální rovnice
Okamžitá úroková míra ve Vašíčkově modelu sleduje v rizikově neutrálním světě stochastickou diferenciální rovnici:
$$ dr_t = a( b – r_t ) dt + \sigma dW_t$$
- $b$ – dlouhodobá rovnovážná pozice, k níž okamžitá úroková míra směřuje
- $a$ – rychlost mean-reversion: čím vyšší, tím rychleji po jakémkoli vychýlení konverguje k dlouhodobé rovnovážné poloze
- $\sigma$ – volatilita
Stochastická diferenciální rovnice má relativně jednoduché řešení, okamžitá úroková míra $r(t)$ má normální rozdělení. Z toho vyplývá, že připouští i negativní hodnoty. Proces má střední hodnotu:
$$ E[r_t] = r_0 e^{-at} + b(1-e^{-at})$$
a rozptyl
$$ Var[r_t] = \frac{\sigma^2}{2a}(1-e^{-2at})$$
Střední hodnota v limitě (pro $t \to \infty$) je rovna $b$, rozptyl v limitě je roven $\frac{\sigma^2}{2a}$.
Zdroje:
– Wiki