Pro řešení Vašíčkova modelu definujme funkci:
$$\begin{equation} G(t,r(t)) = e^{at} r\label{g}\end{equation}$$
Pomocí Itoovy formule:
$$ \frac{\partial G}{\partial t} = a e^{at} r, \frac{\partial G}{\partial r} = e^{at}, \frac{\partial^2 G}{\partial r^2} = 0$$
$$ dG = ( a e^{at} r + e^{at} a(b-r) + 0 ) dt + e^{at} \sigma dW_t$$
V první závorce se nám dva členy zruší a zůstane:
$$ dG = abe^{at}dt + \sigma e^{at} dW_t$$
Integrujme obě strany:
$$ G(t) – G(0) = \int_0^t abe^{as} ds + \int_0^t \sigma e^{as} dW_t$$
První integrál má řešení:
$$ = ab \left[ \frac{e^{as}}{a} \right]_0^t = b(e^{at} – 1)$$
Před druhý integrál můžeme vyhodit $\sigma$ a zbyde nám stochastický integrál, který označme $x(t)$ – víme o něm, že bude mít normální rozdělení. Pokračujme:
$$ G(0) = r(0) e^0 = r(0)$$
$$ G(t) = r(0) + b( e^{at} – 1) + \sigma x(t)$$
My ale potřebujeme vzorec pro $r(t)$, který získáme pomocí $\ref{g}$ vydělením této rovnice výrazem $e^{at}$:
$$ r(t) = e^{-at} r(0) + b( 1-e^{-at}) + \sigma e^{-at} x(t)$$
Vlastnosti x(t)
Víme, že stochastický integrál má nulovou střední hodnotu. Jeho rozptyl spočteme:
$$ Var[x(t)] = E \left[ \left( \int_0^t e^{as} dW_t \right)^2 \right]$$
Představme si integrál jako sumu nekonečného množství přírůstků dW. Víme také ze stochastického kalkulu, že $dW^2 = dt$. Můžeme tedy pokračovat:
$$= E \left[ \int_0^t e^{2as} ds \right] = \left[ \frac{e^{2as}}{2a} \right]_0^2 = \frac{e^{2at} – a}{2a}$$
Z toho vyplývá, že $r(t)$ má rozptyl:
$$ var[r(t)] = \sigma^2 e^{-2at} \frac{e^{2at} – a}{2a} = \frac{\sigma ^2}{2a}\left( 1 – e^{-2at} \right)$$