Peníze nebereme jako prostředek směny, ale jako aktivum, které samo o sobě dává nějaký užitek (v tomto případě úspora transakčních nákladů při nákupu komodit, užitek tedy vyplývá z likvidity peněz). V užitkové funkci reálné peněžní zůstatky M/P, protože užitek peněz roste s tím, kolik reálných komodit si za ně můžeme koupit.
Domácnost
Domácnost se snaží maximalizovat střední hodnotu sumy diskontovaných užitků v nekonečném čase, tedy veličinu
$$ E_0 \sum_{t=0}^\infty \beta^t U \left( C_t,L_t,\frac{M_t}{P_t} \right) $$
s rozpočtovým omezením
$$ P_tC_t + Q_tB_t + M_t \leq B_{t-1} + W_tL_t + M_{t-1} – Z_t $$
Separabilní užitková funkce
U tohoto tvaru se předpokládá, že užitek z reálných peněžních zůstatků je aditivně separabilní od spotřeby. Příklad takové funkce:
$$ U \left( C_t,L_t,\frac{M_t}{P_t} \right) = \frac{C_t^{1-\sigma}}{1-\sigma} + \frac{(M_t/P_t)^{1-\nu}}{1-\nu} – \frac{L_t^{1+\phi}}{1+\phi} $$
Derivací lagrangiánu získám tři podmínky rovnováhy:
- klasický vztah mezi prací, spotřebou a reálnou mzdou
- Eulerovu rovnici
- Rovnováhu pro M/P ve vztahu ke spotřebě
Podmínky loglinearizujeme a vyjádříme ve fluktuacích. Klíčový výsledek: Rovnice pro M/P bude odpovídat Fisherově rovnici směny! Z toho vyplývá, že peníze jsou v tomto modelu neutrální.
Neseparabilní užitková funkce
V tomto případě předpokládáme tvar užitkové funkce
$$ U \left( C_t,\frac{M_t}{P_t},L_t \right) = \frac{X_t^{1-\sigma}}{1-\sigma} – \frac{L_t^{1+\phi}}{1+\phi} $$
kde souhrnný index spotřeby a reálných peněz
$$ X_t = f \left( C_t, \frac{M_t}{P_t} \right)$$
Přesný tvar viz skripta, v rámci výkladu na něm až tak nezáleží. Klíčové je, že při formulaci podmínek rovnováhy se nám nepodaří derivací oddělit C a M/P – v rovnicích pro rovnováhu nám zůstává souhrnný index X.
Úpravou a logaritmickou linearizací podmínek dojdu k tomu, že reálná mzda závisí na úrokové míře
$$ \tilde{w}_t – \tilde{p}_t = \sigma \tilde{c}_t + \phi \tilde{l}_t + \omega \tilde{\iota}_t $$
Zde tedy peníze už nejsou neutrální – nominální veličina (nominální úroková míra) nám ovlivňuje veličinu reálnou.
V Eulerově rovnici nám kromě reálné úrokové míry vyjde i závislost na očekávané změně nominální úrokové míry
$$ c_t = E_t c_{t+1} – \frac{1}{\sigma} ( i_t – E_t \pi_{t+1} – \omega E_t \Delta i_{t+1} – \rho ) $$
Měnová politika
Z první rovnice optima domácnosti a rovnováhy na trhu komodit (y=c) se dá vyjádřit rovnice produkční mezery jako
$$ \tilde{y}_t = \psi_a \tilde{a}_t + \psi_i \tilde{\iota}_t $$
Narozdíl od základního modelu tedy zde reálný výstup ovlivňuje jednak technologický pokrok a jednak nominální úroková míra.
Pokud bude mít centrální banka stálé pravidlo měnové politiky, vyjádřené rovnicí
$$ i_t = \rho + a \pi_t + v_t $$
(= cb nastavuje nominální úrokovou míru podle výše inflace), můžeme hlavní ekonomické veličiny vyjádřit jako lineární kombinace náhodných technologických a měnových šoků
$$ \pi_t = -A_{11} a_t – A_{12} v_t $$
$$ i_t = -A_{21} a_t – A_{22} v_t $$
$$ \Delta y_{t+1} = A_{31} a_t + A_{32} v_t $$
O $a_t$ i $v_t$ předpokládáme, že se jedná o AR procesy. $a_t$ nám modeluje exogenní náhodné šoky způsobené technologickým pokrokem, $v_t$ modeluje exogenní náhodné šoky, které narušují měnovou politiku centrální banky.
Shrnutí
- separabilní užitková funkce: úroková míra ovlivňuje jen a pouze poptávku po penězích
- neseparabilní: úroková míra ovlivňuje všechno, včetně reálných veličin
- pokud má CB stanoveno pevné reakční pravidlo, je průběh inflace a reálného produktu ovlivněn pouze náhodnými technologickými a měnovými šoky.