Narozdíl od předchozích modelů zde se jedná o model čistě makroekonomický – nemá žádné mikroekonomické základy a je založen na rovnováze komoditního a peněžního trhu.
Komoditní rovnováha
- agregátní poptávka = Z
- produkce = Y
- stav rovnováhy Y = Z (ten ale může být narušen)
$$ C + I + G = C + S $$
$$ I + G = S $$
Je-li $I + G > S$, agregovaná poptávka je větší než nabídka. Nabídka reaguje tak, že rozšíří výrobu. Je-li $I + G < S$, je výroba větší než poptávka, v následujícím období sníží výrobu.
Vyrovnávacím faktorem je tedy výroba (Keynesovský přístup). Srovnejte s Walrasovským přístupem (vyrovnávacím faktorem jsou ceny) a s neoklasickým přístupem (vyrovnávacím faktorem je úroková míra).
Rovnováha na peněžním trhu
L = M (peněžní poptávka = peněžní nabídce)
Vyrovnávacím činitelem na peněžním trhu je úroková míra R
Dynamický spojitý IS-model
Dynamika produktu dána diferenciální rovnicí
$$ \frac{dY}{dt} = \dot{Y} = \alpha \left[ I(Y,R) – S(Y,R) \right]$$
pro $\alpha > 0 $. Investice větší než úspory znamená převahu poptávky nad nabídkou – derivace tedy bude kladná a produkt poroste (a naopak). Vydělíme Y:
$$ \frac{\dot{Y}}{Y} = \alpha \left[ \frac{I(Y,R)}{Y} – \frac{S(Y,R)}{Y} \right]$$
tedy rychlost růstu v závislosti na míře investic a míře úspor.
Provedeme transformaci $Y = e^{\ln Y} = e^y$:
$$ \dot{y} = \alpha \left[ \frac{I( e^y, R )}{e^y} – \frac{S(e^y,R)}{e^y} \right]$$
Přeznačíme-li funkce, můžeme psát
$$ \begin{equation}\label{comodity} \dot{y} = \alpha \left[ i(y,R) – s(y,R) \right] \end{equation}$$
Na peněžním trhu budeme předpokládat geometrickou korekci (tj. rychlost návratu do rovnováhy závisí na poměru L/M, nikoli na jejich rozdílu)
$$ e^{\dot{R}} = \left[ \frac{L(Y,R)}{M} \right] ^ \beta$$
kde $\beta > 0$. Po logaritmizaci a položení $l(y,R) = \ln L(e^Y,R)$:
$$ \begin{equation} \label{money} \dot{R} = \beta \left[ l(y,R) – m \right] \end{equation}$$
Rovnice $\eqref{comodity}$ a $\eqref{money}$ tvoří dynamický spojitý IS-model.
Předpoklady
- i – roste v y, klesá v R
- s – roste v y, roste v R
- l – roste v y, klesá v R
Teorie Goodwinova nelineárního akcelerátoru: u investiční funkce předpokládáme nelineární průběh v Y (existuje supremum i) – v žádné ekonomice investiční míra nepřekročila 30 %, proto je tento předpoklad oprávněný. U ostatních dvou (i,s) předpokládáme lineární průběh.
$$ l(y,R) = l_0 + l_1 y – l_2 R $$
$$ s(y,R) = s_0 + s_1 y + s_2 R $$
$$ i(y,R) = g(R) f(y) $$
Trochu arbitrárně tedy zvolíme funkci v y jako funkci logistickou:
$$ f(y) = \frac{a f_0}{b f_0 + (a – b f_0 ) e^{-ay}} $$
Infimum funkce je 0, supremum $\frac{a}{b}$. Pro g(R) předpokládáme tvar
$$ g(R) = \frac{\lambda}{1+R} $$
Celková investiční funkce tedy vypadá takto:
$$ i(y,R) = \frac{\lambda}{1+R} \frac{a f_0}{b f_0 + (a – b f_0 ) e^{-ay}} $$
s infimem 0 a supremem $ \frac{\lambda}{1+R} \frac{a}{b} $. Uvědomíme si, že a, b i lambda jsou konstanty, čili supremum logistické funkce je dáno čistě výší úrokové míry R. Když se R zvýší, graf si trochu lehne. Když se R sníží, graf se trochu zvedne.
Stacionární stav
Vyšetřeme stacionární stav (tj. derivace y i R budou 0) – konkrétní postup není důležitý (viz skripta str. 88). Jak vypadá rovnováha na komoditním trhu:
Levý a pravý bod jsou body rovnováhy na komoditním trhu (ale ne na trhu peněžním). Prostřední je bod rovnováhy na obou trzích.
Jakmile vychýlím bod $\bar{y}$ nalevo, tak je s > i a produkt bude dále klesat (podle $\eqref{comodity}$) – analogicky když vychýlím doprava, bude i > s a produkt bude dále růst. Prostřední bod je tedy nestabilní rovnováha („kulička na kopci“) zatímco levé a pravé body jsou stabilní rovnováhy („kulička v důlku“).
Dynamika modelu
Dejme tomu, že jsme ekonomiku jemným šťouchem v předchozím obrázku vychýlili doprava. Produkt bude pokračovat v růstu, to vytvoří tlak na trhu peněz a poptávka po penězích bude větší než nabídka peněz. Úroková míra tedy také poroste, až dosáhne hodnoty R1 – v tomto bodě film zastavíme:
Roste y, roste R, takže přímka úspor se posouvá nahoru (viz předpoklady). S rostoucím R si investiční křivka lehá směrem dolů. Prostřední rovnováha se tedy posouvá doprava, a ta pravá doleva, takže se nakonec střetnou jako na obrázku. Jenže jsme v situaci, kdy R pokračuje v růstu (protože produkt je vyšší než normální). Další růst R mi úplně zničí rovnováhu vpravo:
Ekonomika prudce klesne do depresivní rovnováhy y1 – ta leží nalevo od „normálního produktu“, poptávka po penězích je zde tedy menší než nabídka a úroková míra R klesá. V důsledku toho úsporová křivka půjde dolů a křivka investiční se naopak bude zvedat – nakonec to bude vypadat jako obrázek 0, jen s tím rozdílem, že teď je ekonomika v depresivní rovnováze y1 (nemá totiž důvod se z ní pohnout, je „v důlku“)
Pokles R ovšem pokračuje, přímka úspor jde stále dolů, přímka investiční se stále zvedá. Nakonec dojde k tomuto:
Pokračující pokles úrokové míry vede nakonec k tomu, že se depresivní rovnováha úplně zruší a produkt opět prudce vzroste do rovnováhy y3:
Dostali jsme se na konec jednoho cyklu. To celé bude pokračovat dál: vznikají zde oscilace jako endogenní vlastnost systému – nejsou potřeba žádné externí šoky pro jejich vysvětlení (na druhou stranu je to jen takové aritmetické cvičení bez mikroekonomických základů, prostě jsme si nadefinovali ty funkce v takovém tvaru, aby to vyšlo, a pak to nějak propojili s ekonomickou interpretací)
Fázový portrét
V normální ekonomii máme v IS-LM modelu dvě přímky – zde kvůli nelineární logistické funkci bude IS-LM graf vypadat jinak … LM bude tedy lineární, IS ale nikoli. Získali bychom ji jako rovnici stacionárního stavu (položíme i(y,R) = s(y,R) a kreslíme všechny body, které této rovnici odpovídají)
Výsledkem je něco, čemu matematici říkají fázový portrét a přitom je to vlastně známý graf IS-LM modelu (vztah mezi úrokovou mírou na vertikální ose a produktem na ose horizontální)
Když si nakreslíme 4 body, každý v jednom kvadrantu, je možné podle polohy vůči IS a LM křivkám určit vektory směru dalšího pohybu. To znázorňuje následující obrázek.
Příklad pro bod 0:
- Bod leží pod křivkou IS, úroková míra vyrovnávající komoditní trh je tedy výše než aktuální – to znamená, že investice budou větší než úspory a z toho podle $\eqref{comodity}$ vyplývá, že derivace produktu bude kladná (v produktu bude růst, proto šipka doprava)
- Bod leží pod křivkou LM, aby byl peněžní trh vyrovnán, musela by být úroková míra daleko vyšší – teď je příliš nízká. Z toho vyplývá, že poptávka po penězích bude vyšší než nabídka peněz, podle $\eqref{money}$ tedy úroková míra poroste – proto šipka nahoru
Obdobně se dají odvodit vektory pro ostatní kvadranty. Modře je znázorněn tzv. limitní cyklus – ať vyjdeme z jakéhokoli bodu, tak trajektorie bude nakonec konvergovat k této. Důležité: když kreslíme limitní cyklus, tak v bodech protnutí s LM musí být přesně vodorovný. V bodech protnutí s IS musí být přesně svislý. Je to proto, že v bodech protnutí je jeden trh v rovnováze a tudíž jeho příslušný vektor (nahoru/dolů resp. doprava/doleva) musí být nulový.
Pokud bychom křivku LM vychýlili tak, aby se s IS protnula až „za vrcholem kopce“ (například zvýšením peněžní nabídky), tak se zcela změní chování systému – najednou bude stabilní a všechna tyto zajímavá dynamika zmizí.
Zdroje: