Vyjdeme z diferenciální rovnice pro cenovou hladinu
$$ \begin{equation} \label{marshall} \dot{p}(t) = \alpha \left[ m^s(t) – m^d(t) \right] \end{equation}$$
kde alpha > 0, ms značí nabídku peněz, md poptávku po penězích a tečkované p znamená derivaci cenové hladiny podle času. Rovnice je vlastně matematickým vyjádřením Marshallova přizpůsobovacího mechanismu:
- ms > md znamená, že lidé mají na účtech více peněz než požadují. Přebytek peněz tak použijí k nákupu zboží, což vede k růstu cen zboží.
Nabídka peněz je daná exogenně centrální bankou, tím se zabývat nemusíme.
Poptávka po penězích z kvantitativní rovnice směny:
$$ \begin{equation}\label{fisher}M^d(t) = \frac{1}{V\left( \pi(t) \right)} P(t) Y(t) \end{equation}$$
Proměnná $\pi$ značí očekávanou výši inflace. O rychlost oběhu V tedy předpokládáme, že závisí na očekávané inflaci (roste spolu s ní) – logika je taková, že když očekávám vysokou inflaci, je lepší se peněz zbavit a nakoupit za ně zboží. Rychlost oběhu ale nebude růst neomezeně – předpokládáme, že je tu nějaká mez => logistická funkce:
$$ V(\theta(\pi)) = K_1 e^{\theta(\pi)}$$
kde $\theta$ je logistická funkce ve tvaru
$$ \theta(\pi) = \frac{ \ln K_2 – \ln K_1}{1 + be^{-a\pi}}$$
Tvar těchto funkcí je součástí předpokladů modelu. Tj. zvolili jsme si je tak, aby nám to nějak vyšlo (ideálně tak, jak potřebujeme) a následně jsme na to napasovali nějakou ekonomickou interpretaci.
Dosadím-li do rovnice směny $\eqref{fisher}$ a zlogaritmuji, mám (malá písmena značí logaritmus)
$$ m^d(t) = p(t) + y_t – k_1 – \theta(\pi(t)) $$
To mohu dosadit do $\eqref{marshall}$ a mám první důležitou rovnici modelu
$$ \begin{equation}\label{dynamics}\dot{p}(t) = \alpha \left[ m^s(t) – p(t) – y(t) + k_1 + \theta(\pi(t)) \right] \end{equation}$$
Adaptivní očekávání
Druhá rovnice vyjadřuje adaptivní očekávání ekonomických subjektů. Když je realizovaná inflace pod očekávanou hodnotou, subjekty upraví své očekávání pro příště směrem dolů (a naopak)
$$ \dot{\pi}(t) = \beta \left[ \dot{p}_t – \pi(t) \right] $$
Po dosazení $\eqref{dynamics}$ mám druhou důležitou rovnici
$$ \begin{equation}\label{expectations}\dot{\pi}(t) = \beta \left[ \alpha \left( m^s(t) – p(t) – y(t) + k_1 + \theta(\pi(t)) \right) – \pi(t) \right] \end{equation}$$
Endogenní proměnné: $p(t)$, $\pi(t)$.
Exogenní proměnné: $m^s(t), y(t)$.
Řešení (postup viz skripta, není ale nijak důležitý):
$$ \frac{1}{\alpha \beta} \ddot{\pi} + \left[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} – \dot{\theta}({\pi}) \right] \dot{\pi} + \pi = \dot{m}^s – \dot{y} $$
Z fyziky se jedná o rovnici nuceného oscilátoru. Klíčový závěr z ekonomického hlediska je vlastně kritikou monetarismu. Friedman požadoval nastavit rychlost růstu peněžní zásoby na stejnou úroveň, jakým roste produkt (pravidlo stálého růstu peněžní zásoby)
Když vyladím pravou stranu rovnice, tak mi tam stále zůstanou oscilace na straně levé (tedy v očekávané výši inflace). Z tohoto modelu tedy vyplývá, že se mi nepodaří stabilizovat cenovou hladinu ani při splnění Friedmanova požadavku – inflace bude periodicky oscilovat.
Model ovšem vlastně předpokládá, že ekonomické subjekty jsou postižení poruchou učení, neboť i v případě cyklických výkyvů oni sveřepě trvají na inflačním očekávání, které je systematicky mimo skutečný průběh inflace. Je tedy otázka, nakolik je to jen zábavným matematickým cvičením a nakolik se dají tyto závěry převést do praxe.