Opce představuje finanční derivát, který dává jejímu majiteli právo koupit nebo prodat aktivum za předem stanovených podmínek. Narozdíl od forwardu je to kontrakt nesymetrický. Jedna strana má právo (kupující opce, dlouhá pozice), druhá povinnost na výzvu plnit (vypisovatel opce, krátká pozice).
Tržní hodnota opce tedy není na začátku nulová (jako u forwardu). Kupující platí vypisovateli prémii jako kompenzaci za toto nerovné postavení.
Typy opcí
Call opce – právo koupit, kupní opce
Put opce – právo prodat, prodejní opce
Evropské opce – je možné uplatnit v přesně stanovený den
Americké opce – je možné uplatnit kdykoli ode dne nákupu až do dne expirace (maturity)
Bermudské opce – je možné je uplatnit jen v určité předem stanovené dny (nebo například v poslední třetině života opce)
Základní parametry opcí, které ovlivňují cenu
- $S_t$ – cena podkladového aktiva
- $K$ – strike price, realizační cena: za tuto cenu má majitel opce právo koupit/prodat podkladové aktivum
- $\sigma$ – volatilita ceny podkladového aktiva
- $r_f$ – bezriziková úroková míra
- $T$ – čas do expirace (maturity)
- $q$ – dividendový výnos
Ocenění evropské call opce na akcii bez dividendy (základní vzorec)
Řešením Black-Scholesovy parciální diferenciální rovnice je vzorec pro ocenění opcí:
$$ call = S N(d_1) – K e^{-r T} N(d_2)$$
$$ d_1 = \frac{ln(S/K) + (r + \sigma^2 / 2) T}{\sigma \sqrt{T}}$$
$$ d_2 = d_1 – \sigma \sqrt{T}$$
$$ N(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^z e^{x^2/2} dx$$
$N(z)$ je tedy distribuční funkce standardního normálního rozdělení N(0,1) – v Excelu funkce NORMSDIST().
Ocenění evropské put opce
$$ put = K e^{-r T}N(-d_2) – S N(-d_1)$$
Put-call parita pro evropské opce
Univerzální vztah pro evropské opce mezi cenou call a put opce se stejným podkladem, realizační cenou a časem expirace. Tento vztah je nezávislý na oceňovacím modelu.
$$ put + S = call + K e^{-r T}$$
Důsledek: pokud známe cenu call opce, známe automaticky i cenu put opce.
Jinými slovy totéž: implikovaná volatilita call a put opce (se stejnými S, T, K) bude vždy stejná.
Put-call parita pro americké opce
Pro americké opce existuje podobný vztah pouze v podobě nerovnosti:
$$ S – K \leq call – put \leq S – K^{-rT} $$