Obecnější přístup oproti tomuto pro případ, že podklad není obchodovatelné aktivum (například počasí, úroková míra) a obchodují se pouze jeho deriváty.
Podklad sleduje proces (geometrický brownův pohyb):
$$ d\omega = m \omega_t dt + s \omega_t dW_t $$
Mějme dva deriváty tohoto podkladu: $f_1(t,\omega)$, $f_2(t,\omega)$. Jejich pohyb je tedy řízen stejným zdrojem nejistoty (důležité!).
Podle Itoovy formule opět platí, že:
$$ df_1 = \left( \frac{\partial f_1}{\partial t} + \frac{\partial f_1}{\partial \omega} m\omega + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f_1}{\partial \omega^2} s^2 \omega^2 \right) dt + \frac{\partial f_1}{\partial \omega} s \omega dW_t $$
$$ df_2 = \left( \frac{\partial f_2}{\partial t} + \frac{\partial f_2}{\partial \omega} m\omega + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f_2}{\partial \omega^2} s^2 \omega^2 \right) dt + \frac{\partial f_2}{\partial \omega} s \omega dW_t $$
Z důvodu zkrácení zápisu si zaveďme tyto zkratky:
$$\mu_1f_1 = \mu_1(t,\omega)f_1 = \left( \frac{\partial f_1}{\partial t} + \frac{\partial f_1}{\partial \omega} m\omega + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f_1}{\partial \omega^2} s^2 \omega^2 \right)$$
$$\sigma_1f_1 = \sigma_1(t,\omega) f_2 = \frac{\partial f_1}{\partial \omega} s \omega$$
$$\mu_2f_2 = \mu_2(t,\omega)f_2 = \left( \frac{\partial f_2}{\partial t} + \frac{\partial f_2}{\partial \omega} m\omega + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f_2}{\partial \omega^2} s^2 \omega^2 \right)$$
$$\sigma_2f_2 = \sigma_2(t,\omega) f_2 = \frac{\partial f_2}{\partial \omega} s \omega$$
čímž dostaneme diferenciální rovnice ve formě geometrického Brownova pohybu:
$$\begin{equation}df_1 = \mu_1f_1dt + \sigma_1f_1dW_t\label{df1}\end{equation}$$
$$\begin{equation}df_2 = \mu_2f_2dt + \sigma_2f_2dW_t\label{df2}\end{equation}$$
dW v obou procesech představuje stejný Wienerův proces (stejný zdroj nejistoty). Opět tedy můžeme sestavit portfolio tak, aby se nám náhodné členy vyrušily. Hledáme množství $N_1$, $N_2$ derivátů v portfoliu tak, aby platilo:
$$N_1 \sigma_1 f_1 dW_t + N_2 \sigma_2 f_2 dW_t = 0$$
$$N_1 \sigma_1 f_1 = -N_2 \sigma_2 f_2$$
Tato podmínka bude splněna, když položíme $N_1 = \sigma_2 f_2$ a $N_2 = -\sigma_1 f_1$.
Sestavíme tedy portfolio:
$$\begin{equation} \pi = (\sigma_2 f_2) f_1 – (\sigma_1f_1)f_2 \label{pi}\end{equation}$$
a tedy:
$$ d\pi = (\sigma_2 f_2) df_1 – (\sigma_1f_1) df_2$$
Dosadíme z $\ref{df1}$ a $\ref{df2}$ a máme:
$$ d\pi = \sigma_2 f_2 \mu_1f_1dt + \sigma_1f_1\sigma_2 f_2dW_t – \sigma_1f_1 \mu_2f_2dt – \sigma_1f_1\sigma_2f_2dW_t$$
Vidíme, že náhodné členy se opravdu vyruší a zůstává nám:
$$ d\pi = ( \mu_1\sigma_2 f_1f_2 – \mu_2\sigma_1f_1f_2 ) dt$$
Sestrojili jsme tedy bezrizikové portfolio a podle no-arbitrage argumentu musí být jeho výnos na úrovni bezrizikové míry. Platí:
$$ d\pi = r \pi dt$$
Dejme tyto dva vztahy dohromady a za $\pi$ dosaďme z $\ref{pi}$ a máme:
$$ \mu_1\sigma_2 f_1f_2 – \mu_2\sigma_1f_1f_2 = r \sigma_2 f_1 f_2 – r \sigma_1f_1f_2$$
Výraz se dá vydělit $f_1f_2$:
$$ \mu_1\sigma_2 – mu_2\sigma_1 = r \sigma_2 – r \sigma_1$$
$$\sigma_2 ( \mu_1 – r ) = \sigma_1( \mu_2 – r )$$
$$\frac{\mu_1 – r}{\sigma_1} = \frac{\mu_2 – r}{\sigma_2} = \lambda$$
Hodnotu $\lambda$ označujeme jako tržní cenu rizika a je funkcí času $t$ a podkladového procesu $\omega$. Z rovnice však vyplývá, že pro libovolný derivát tohoto procesu bude tržní cena rizika stejná:
$$\begin{equation}\lambda = \frac{\mu – r}{\sigma}\label{lambda}\end{equation}$$
Jakýkoli derivát závisející na podkladovém procesu $\omega$ tedy můžeme popsat stochastickou diferenciální rovnicí podle $\ref{df1}$, resp. $\ref{df2}$. Obecně:
$$df = \mu f dt + \sigma f dW_t$$
$$\begin{equation} \mu f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial \omega} m\omega + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial \omega^2} s^2 \omega^2 \right)\label{muf}\end{equation}$$
$$ \begin{equation} \sigma f = \frac{\partial f}{\partial \omega} s \omega \label{sigmaf}\end{equation}$$
Teď stačí vzorec pro tržní riziko $\ref{lambda}$ vynásobit f a převést vše na jednu stranu:
$$ \mu f – rf – \lambda \sigma f = 0$$
Dosazením $\ref{muf}$ a $\ref{sigmaf}$ pak dostaneme hledanou rovnici:
$$ ( m – \lambda s ) \frac{\partial f}{\partial \omega} \omega + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial \omega^2} s^2 \omega – r f = 0$$