Pro řešení Vašíčkova modelu definujme funkci: $$\begin{equation} G(t,r(t)) = e^{at} r\label{g}\end{equation}$$ Pomocí Itoovy formule: $$ \frac{\partial G}{\partial t} = a e^{at} r, \frac{\partial G}{\partial r} = e^{at}, \frac{\partial^2 G}{\partial r^2} = 0$$ $$ dG = ( a e^{at} r + e^{at} a(b-r) + 0 ) dt + e^{at} \sigma dW_t$$ V první závorce se nám […]
Autor: Michal Haltuf
Stochastický model pro popis chování krátkodobé úrokové sazby. Vašíčkův model je velmi jednoduchý, jednofaktorový (má pouze jeden zdroj nejistoty), ale zahrnuje již mean-reversion vlastnost. Dá se použít k ocenění úrokových derivátů. Stochastická diferenciální rovnice Okamžitá úroková míra ve Vašíčkově modelu sleduje v rizikově neutrálním světě stochastickou diferenciální rovnici: $$ dr_t = a( b – r_t […]
FRA je forwardový kontrakt, který již dnes určuje úrokovou sazbu z plnění (úvěru či vkladu), které započne až v budoucnu. FRA je derivát obchodovaný OTC (over-the-counter), jde o instrument peněžního trhu, takže pro všechny výpočty se používá jednoduché úročení. Klíčové parametry FRA: $A$ – Jmenovitá hodnota (Notional amount) $R_M$ – Referenční sazba (Reference rate), obvykle […]
EAD je jedním z parametrů pro výpočet regulatorního kapitálu podle Basel II. EAD je odhad celkové expozice banky vůči protistraně v případě, že protistrana někdy v budoucnosti zdefaultuje. V případě běžných produktů (anuitně splácený úvěr apod.) je EAD rovno nesplacené výši úvěru v době defaultu. U revolvingových produktů (úvěrová linka, kontokorent apod.) lze EAD na […]
LGD (Loss Given Default) je jeden ze základních parametrů Basel II pro stanovení regulatorního kapitálu a výpočet očekávané ztráty (EL, Expected Loss) Udává procentuální ztrátu z celkové expozice banky v případě, že dlužník defaultuje. Jedná se tedy o podmíněnou očekávanou hodnotu: $$LGD = E(Percentage Loss|defaulted=yes)$$ Doplňkem LGD je Recovery rate (RR), která udává, jak velkou […]
Obecnější přístup oproti tomuto pro případ, že podklad není obchodovatelné aktivum (například počasí, úroková míra) a obchodují se pouze jeho deriváty. Podklad sleduje proces (geometrický brownův pohyb): $$ d\omega = m \omega_t dt + s \omega_t dW_t $$ Mějme dva deriváty tohoto podkladu: $f_1(t,\omega)$, $f_2(t,\omega)$. Jejich pohyb je tedy řízen stejným zdrojem nejistoty (důležité!). Podle […]
Itoova formule představuje způsob/pravidlo, jak odvodit diferenciál časově závislého stochastického procesu. Nejznámnější uplatnění najde při odvození Black-Scholesovy parciální diferenciální rovnice. Mějme jednoduchý stochastický proces vyjádřený pomocí diferenciální rovnice: $$dX_t = \mu_t dt + \sigma_t dW_t$$ a funkci $f(t,X_t)$, která je závislá na čase a na tomto procesu a která je dvakrát diferencovatelná podle $X_t$ a […]
Tohle je jen jedna z možností odvození – uvažujeme podkladové aktivum a derivát, pomocí nichž sestavíme bezrizikové portfolio. Podmínkou je, že můžeme upravovat svou pozici v obou instrumentech v nekonečně malých časových úsecích (dynamický hedging) a podkladové aktivum je obchodovatelné. Máme podkladové aktivum, jehož cena se řídí geometrickým Brownovým pohybem: $$dS_t = \mu S_t dt […]